三维设计2012届复*课件文科数学(人教A版)第二章__第九节__函数与方程

发布时间:2021-08-04 13:35:26

函数与方程 1. 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方 结合二次函数的图象, 程根的关系,判断一元二次方程根的存在性 程根的关系, 及根的个数. 及根的个数. 2. 根据具体函数的图象,能够用二分法求相应 根据具体函数的图象, 方程的**猓 方程的**猓

[理 要 点] 理 一、函数的零点 1.函数零点的定义 . = 成立的实数x叫做 对于函数y= 对于函数 =f(x)(x∈D),把使 f(x)=0 成立的实数 叫做 ∈ , 函数y=f(x)(x∈D)的零点. 的零点. 函数 = ∈ 的零点 2.几个等价关系 . 方程f(x)= 有实数根 函数y= 的图象与 轴 有实数根? 方程 =0有实数根?函数 =f(x)的图象与 x轴 有交点 ?函数y=f(x)有 零点 . 函数 = 有

3.函数零点的判定(零点存在性定理 .函数零点的判定 零点存在性定理 零点存在性定理) 如果函数y= 在区间 在区间[a, 上的图象是连续不断的一 如果函数 =f(x)在区间 ,b]上的图象是连续不断的一 条曲线, 那么函数y= 在区间 条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0 ,那么函数 =f(x)在区间 (a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使得 f(c)=0 ,这 , 内有零点,即存在 ∈ , , = 也就是f(x)= 的根 的根. 个 c 也就是 =0的根.

二、二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 二次函数 = + 的图象与零点的关系 ?>0 二次函数y= 二次函数 = ax2+bx+ + c(a>0)的图象 的图象 与x轴 轴 的交点 零点个数 两个零点 一个零点 (x1,0),(x2,0) , (x1,0) 无交点 无零点 ?=0 = ?<0

三、二分法 1.二分法的定义 . 对于在区间[a, 上连续不断且 的函数y= , 对于在区间 ,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 =f(x), 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 通过不断地把函数 的零点所在的区间 间的两个端点逐步* 法叫做二分法. 法叫做二分法. 一分为二 ,使区

零点 ,进而得到零点*似值的方

2.用二分法求函数f(x)零点*似值的步骤 .用二分法求函数 零点*似值的步骤 第一步,确定区间 , , 给定精确度ε. 第一步,确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0 ,给定精确度 第二步,求区间 , 的中点 的中点c. 第二步,求区间(a,b)的中点 第三步, 第三步,计算 f(c) : = 就是函数的零点; ①若 f(c)=0 ,则c就是函数的零点; 就是函数的零点 ②若 f(a)·f(c)<0 ,则令b=c(此时零点 0∈(a,c)); 则令 = 此时零点x , ; 此时零点 则令a= 此时零点 此时零点x ③若 f(c)·f(b)<0 ,则令 =c(此时零点 0∈(c,b)). , . 第四步,判断是否达到精确度 :即若|a- 第四步,判断是否达到精确度ε:即若 -b|<ε,则得到 , 零点*似值a(或 ;否则重复第二、 四步. 零点*似值 或b);否则重复第二、三、四步.

[究 疑 点] 究 1.函数的零点是函数 =f(x)与x轴的交点吗? 函数的零点是函数y= 与 轴的交点吗 轴的交点吗? 函数的零点是函数 提示:函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点,而是y= 提示:函数的零点不是函数 = 与 轴的交点,而是 = 轴的交点 f(x)与x轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点, 与 轴交点的横坐标 也就是说函数的零点不是一个点, 轴交点的横坐标, 而是一个实数. 而是一个实数. 2.是否任意函数都有零点? 是否任意函数都有零点? 是否任意函数都有零点 提示:并非任意函数都有零点,只有 = 有根的函数 有根的函数y= 提示:并非任意函数都有零点,只有f(x)=0有根的函数 = f(x)才有零点. 才有零点. 才有零点

[题组自测 题组自测] 题组自测
1.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx2 . = + , = -ax 的零点是 A.0,2 . 1 C.0,- . ,- 2 1 B.0, . , 2 1 D.2,- . ,- 2 ( )

解析: =-2ax2-ax=- =-ax(2x+1), 解析:∵2a+b=0,∴g(x)=- + = , =- =- + , 1 所以零点为 0 和- . 2

答案: 答案:C

4 2.函数 f(x)=x-x的零点个数为 . = - 的零点个数为________. .

4 解析:法一: 解析:法一:由 x-x=0(x≠0)得:x2-4=0(x≠0), - ≠ 得 = ≠ , 4 ∴x=±2,∴f(x)=x-x有两个零点. = , = - 有两个零点. 4 法二: 法二:在同一直角坐标系中画出 y=x 与 y=x的图象, = = 的图象, 观察其交点的个数, 观察其交点的个数,显然有 2 个.

答案: 答案:2

3.已知函数f(x)=x2+x+a(a<0)在区间 .已知函数 = 在区间(0,1)上有零点,则 上有零点, + 在区间 上有零点 a的范围为 的范围为____________. 的范围为 . 解析:由题意 解析:由题意f(1)·f(0)<0,∴a(2+a)<0,∴-2<a<0. , + , 答案: - 答案:(-2,0)

4.(2010·天津高考 函数 =ex+x-2的零点所在的一个 . 天津高考)函数 天津高考 函数f(x)= - 的零点所在的一个 区间是 A.(-2,- . - ,- ,-1) C.(0,1) . B.(-1,0) .- D.(1,2) . ( )

解析: ′ = 解析:∵f′(x)=ex+1>0, , 上是增函数. ∴f(x)=ex+x-2在R上是增函数. = - 在 上是增函数 而f(-2)=e-2-4<0,f(-1)=e-1-3<0, - = , - = , f(0)=- =-1<0,f(1)=e-1>0,f(2)=e2>0, =- , = - , = , ∴f(0)·f(1)<0. 为函数f(x)的零点所在的一个区间 故(0,1)为函数 的零点所在的一个区间. 为函数 的零点所在的一个区间. 答案: 答案:C

判断函数y= + - 的零点个数 的零点个数. 判断函数 =lnx+2x-6的零点个数. 解:法一:设f(x)=lnx+2x-6, 法一: = + - , 均为增函数, ∵y=lnx和y=2x-6均为增函数, = 和 = - 均为增函数 ∴f(x)也是增函数. 也是增函数. 也是增函数 =-4<0, 又∵f(1)=0+2-6=- = + - =- , f(3)=ln3>0, = , 上存在零点. ∴f(x)在(1,3)上存在零点. 在 上存在零点 为增函数, 又f(x)为增函数, 为增函数 上存在唯一零点. ∴函数在(1,3)上存在唯一零点. 函数在 上存在唯一零点

法二:在同一坐标系画出 = 与 = - 的图象 的图象, 法二:在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象,由图 可知两图象只有一个交点,故函数y=lnx+2x-6只有一 可知两图象只有一个交点,故函数 = + - 只有一 个零点. 个零点.

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 1.判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以 .判断函数 = 在某个区间上是否存在零点 在某个区间上是否存在零点, 下方法: 下方法: (1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是 解方程:当对应方程易解时,可通过解方程, 解方程 否有根落在给定区间上; 否有根落在给定区间上; (2)利用函数零点的存在性定理进行判断; 利用函数零点的存在性定理进行判断; 利用函数零点的存在性定理进行判断 (3)通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有 通过画函数图象,观察图象与 轴在给定区间上是否有 通过画函数图象 交点来判断. 交点来判断.

2.判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体问 .判断函数在某个区间上是否存在零点, 题灵活处理,当能直接求出零点时, 题灵活处理,当能直接求出零点时,就直接求出进行 判断;当不能直接求出时, 判断;当不能直接求出时,可根据零点存在性定理进 行判断;当用零点存在性定理也无法判断时可画出图 行判断; 象判断. 象判断.

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是 . ( )

答案: 答案:C

2.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经 .用二分法研究函数 = 的零点时, - 的零点时 计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点 0∈______,第 , 计算 ,可得其中一个零点x , 二次应计算________.以上横线上应填的内容为( .以上横线上应填的内容为 二次应计算 A.(0,0.5) . C.(0.5,1) . f(0.25) f(0.75) B.(0,1) . D.(0,0.5) . f(0.25) f(0.125) )

解析: 解析:由已知 f(0)f(0.5)<0, , 0+0.5 + ∴x0∈(0,0.5),区间 ,区间(0,0.5)的中点为 2 =0.25, 的中点为 , 则第二次计算 f(0.25). .

答案: 答案:A

3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附*的函数 .若函数 = - 的一个正数零点附*的函数 值用二分法计算,其参考数据如下: 值用二分法计算,其参考数据如下: f(1)=- =-2 =- f(1.375)=- =- 0.260 f(1.5)=0.625 = f(1.4375)= = 0.162 f(1.25)=- =-0.984 =- f(1.40625)=- =- 0.054

那么方程x 的一个*似根(精确度 那么方程 3+x2-2x-2=0的一个*似根 精确度 - = 的一个*似根 精确度0.1)为 为 ________. .

解析: 通过参考数据可以得到: =-0.054<0, 解析 : 通过参考数据可以得到 : f(1.40625)=- =- , f(1.4375)=0.162>0,从而易知 0≈1.40625. = ,从而易知x 答案: 答案:1.40625

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 求函数零点*似值的关键是判断区间长度是否小于精 确度ε,当区间长度小于精确度ε时 运算即告结束, 确度ε,当区间长度小于精确度ε时,运算即告结束,此时区 间内的任何一个值均符合要求, 间内的任何一个值均符合要求,而我们通常取区间的一个 端点值作为**. 端点值作为**

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一个解,则a的 .若方程 内恰有一个解, - = 在 内恰有一个解 的 取值范围是 A.a<-1 . - C.- .-1<a<1 .- B.a>1 . D.0≤a<1 . ( )

解析: =-1,不合题意,故排除C、 当 解析:当a=0时,x=- ,不合题意,故排除 、D.当 = 时 =- a=- 时,方程可化为 2+x+1=0,而Δ=1-16<0, =-2时 方程可化为4x =- + = , = - , 无实根, =-2不适合 无实根,故a=- 不适合,排除 =- 不适合,排除A. 答案: 答案:B

e2 2.若 g(x)=x+ x (x>0),g(x)=m 有零点,求 m 的取值 . = + , = 有零点, 范围. 范围.

e2 法一: 解:法一:∵g(x)=x+ x ≥2 e2=2e, = + , 等号成立的条件是 x=e, = , 的值域是[2e,+ 故 g(x)的值域是 ,+∞), 的值域是 ,+∞ , 因而只需 m≥2e, ≥ , 则 g(x)=m 就有零点. = 就有零点.

e2 法二: 的大致图象如图: 法二: 作出 g(x)=x+ x (x>0)的大致图象如图: = + 的大致图象如图 可知若使 g(x)=m 有零点,则只需 m≥2e. = 有零点, ≥ 法三: 法三:由 g(x)=m 得 x2-mx+e2=0. = + 此方程有大于零的根且 e2>0, , 故根据根与系数的关系得 m>0, ,
?m>0 ? 故? 2 2 ??=m -4e ≥0 ? = ?m>0 ? 等价于? ?m≥2e或m≤-2e ? ≥ 或 ≤

,故 m≥2e. ≥

?2x-1,x>0 , ? 3.已知函数f(x)= ? .已知函数 = 2 ?-x -2x,x≤0 , ≤ ?

,若函数g(x)=f(x)- 若函数 = -

m有3个零点,则实数 的取值范围是 有 个零点 则实数m的取值范围是 个零点, 的取值范围是____________. .

解析: 画出 解析:

?2x-1,x>0 , ? f(x)=? = 2 ?-x -2x,x≤0 2x,x≤ ?

的图象,如图. 的图象,如图. 个零点, 由函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点, = - 结合图象得: 结合图象得:0<m<1,即 m∈(0,1). , ∈ .
答案: 答案:(0,1)

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 解决由函数零点(方程根 的存在情况求参数的值或 解决由函数零点 方程根)的存在情况求参数的值或 方程根 取值范围问题, 取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思 想,构建关于参数的方程或不等式求解. 构建关于参数的方程或不等式求解.

一、把脉考情 从*两年的高考试题来看,函数的零点、 从*两年的高考试题来看,函数的零点、方程的根的问 题是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题. 题是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题. 利用函数零点的存在性定理或函数的图象, 利用函数零点的存在性定理或函数的图象,对函数是否存在 零点(方程是否存在实根 进行判断或利用零点(方程实根 的存 零点 方程是否存在实根)进行判断或利用零点 方程实根)的存 方程是否存在实根 进行判断或利用零点 方程实根 在情况求相关参数的范围,是高考中常见的题目类型. 在情况求相关参数的范围,是高考中常见的题目类型. 预测2012年高考仍将以函数的零点、方程的根存在问题 年高考仍将以函数的零点、 预测 年高考仍将以函数的零点 为主要考点,重点考查相应函数的图象与性质. 为主要考点,重点考查相应函数的图象与性质.

二、考题诊断 1.(2010·福建高考 函数 . 福建高考)函数 福建高考 个数为 A.0 . C.2 . B.1 . D.3 .
?x2+2x-3,x≤0, - , ≤ , ? f(x)=? = ?-2+lnx,x>0 + , ?

的零点 ( )

解析:法一: 解析:法一:令 f(x)=0 得, =
?x≤0 ? ≤ ? 2 ?x +2x-3=0 - = ? ?x>0 ? 或? ?lnx=2 = ?



∴x=- 或 x=e2. =-3 =- = 法二: 法二:画出函数 f(x)的图象可得其图象与 x 轴有两个交点, 的图象可得其图象与 轴有两个交点, 则函数 f(x)有 2 个实零点. 有 个实零点.

答案: 答案:C

2.(2010·天津高考 函数 =2x+3x的零点所在的一个区 . 天津高考)函数 天津高考 函数f(x)= 的零点所在的一个区 间是 A.(-2,- . - ,- ,-1) C.(0,1) . B.(-1,0) .- D.(1,2) . ( )

1 1 解析: 解析:由题意可知 f(-2)= -6<0,f(-1)= -3<0,f(0) - = , - = , 4 2 =1>0,f(2)>0,f(-1)·f(0)<0,因此在区间 -1,0)上一定 , , - ,因此在区间(- 上一定 有零点. 有零点.

答案: 答案:B

1 3. (2010·浙江高考 已知 x0 是函数 f(x)= 2 + 浙江高考)已知 . 浙江高考 = 的一个零 1-x -
x

,+∞ , 点.若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则 , , A.f(x1)<0,f(x2)<0 . < , < C.f(x1)>0,f(x2)<0 . > , < B.f(x1)<0,f(x2)>0 . < , >

(

)

D.f(x1)>0,f(x2)>0 . > , >

1 1 解析: +∞ 上单调递增, 解析: 由于函数 g(x)= = =- 在(1, ∞)上单调递增, , + 上单调递增 1-x x-1 - - ,+∞ 上单调递增, 函数 h(x)=2x 在(1,+∞)上单调递增,故函数 f(x)=h(x)+ = ,+ 上单调递增 = + g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数 f(x)在(1,+∞)上只 在 ,+ 上单调递增 ,+∞ 上单调递增, ,+∞ 在 ,+ 上只 且在(1, )上 x )<0, +∞ 有唯一的零点 x0, 且在(1, 0)上 f(x1)<0, (x0, ∞)上 f(x2) 在 + )上 >0.
答案: 答案:B

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