力学第一章质点运动学

发布时间:2021-06-18 10:31:00

第一章

质点运动学

§1-1 质点,参照系,坐标系 - 质点,参照系,
质点 具有一定质量而形状,大小可不计的物体,称为 具有一定质量而形状,大小可不计的物体, 质点.这是一种理想化模型. 质点.这是一种理想化模型. 抽象条件为:"物体线度"<<"研究的距离" 抽象条件为: 物体线度" 研究的距离" 研究的距离 注意:并不是只有小物体才可视为质点. 注意:并不是只有小物体才可视为质点. 理想化模型是物理学的一种重要研究方法. 理想化模型是物理学的一种重要研究方法.它突 出了事物最主要的因素而略去其它次要因素,使问 出了事物最主要的因素而略去其它次要因素, 题大大简化.力学中常见的理想化模型有:质点, 题大大简化.力学中常见的理想化模型有:质点, 刚体,简谐振动,简谐波,理想流体等. 刚体,简谐振动,简谐波,理想流体等.

参照系 参照系 运动是绝对的而运动的描述却是相对的. 运动是绝对的而运动的描述却是相对的. 在地面上静止的物体会跟着地球一起绕太阳旋 在匀速前进的火车上有一物自由下落, 转;在匀速前进的火车上有一物自由下落,火 车上的人看它是竖直下落, 车上的人看它是竖直下落,而地面上的人看来 它是向前*抛.因此, ,它是向前*抛.因此,要描述一个物体的运 应以另一物体作为参照, 动,应以另一物体作为参照,被选为参照的物 体就称为参照系. 体就称为参照系. 在运动学中,参照系可任意选择, 在运动学中,参照系可任意选择,以如何 使问题简便而定. 使问题简便而定.当我们研究地面附*物体的 运动时,常选地面作为参照系; 运动时,常选地面作为参照系;而研究太阳系 中行星的运动时,则选太阳为参照系. 中行星的运动时,则选太阳为参照系.

坐标系 为确定物体(质点)的空间位置,又在 为确定物体(质点)的空间位置, 参照系上建立起坐标系.常用的坐标系有: 参照系上建立起坐标系.常用的坐标系有: 三维直角坐标系( 三维直角坐标系(图1)*面极坐标系(图2)自然 )*面极坐标系( ) 坐标系( 坐标系(图3) )
z P z O x y x y O

τ
r
θ x 图2 *面极坐标系

P
O

P

n

图1 三维直角坐标系

图3 自然坐标系

球坐标系( 球坐标系(图4)和柱坐标系(图5) )和柱坐标系( )
z P θ r O x 图4 球坐标系 y O θ z r P z y

x 图5 柱坐标系

§1-2 时间和长度的计算
一,时间的计量 1967年第13届国际计量大会规定时间单 1967年第13届国际计量大会规定时间单 年第13 位用铯-133原子的两个超精细能级跃迁所对 位用铯-133原子的两个超精细能级跃迁所对 应的辐射的频率为: 应的辐射的频率为:ν=9192631770 Hz 上述跃迁谱线周期的9192631770 9192631770倍 1秒=上述跃迁谱线周期的9192631770倍 并依此规定制作出了铯原子钟. 并依此规定制作出了铯原子钟.

典型的时间
宇宙年龄 地球的年龄 人的*均寿命 一天 典型的分子旋转周期 快速运动粒子穿越原子核的时间 普朗克时间

5 × 10 17 s 1 . 5 × 10 17 s 2 × 10 s
9

8 . 6 × 10 4 s 1 × 10 10
43 12

s

3 × 10 24 s s

二,长度的计量 1983年第 届国际计量大会定义长度 年第17届国际计量大会定义长度 年第 单位用真空中的光速规定: 单位用真空中的光速规定:

c = 299792458 m/s
因而米是光在真空中1 299,792,458秒 因而米是光在真空中1/299,792,458秒 的时间间隔内所经路程的长度. 的时间间隔内所经路程的长度.

典型的长度
哈勃半径 地球半径 人的典型高度 书页的厚度 氢原子半径 质子有效半径 弱电统一的特征尺度 普朗克长度

10

26

m
0

6 . 4 × 10 6 m 1 . 8 × 10 m 1 × 10 4 m 5 × 10 10
18 11

m

1 . 2 × 10 15 m m 10 35 m

牛顿的时空观:绝对的,时空无联系, 牛顿的时空观:绝对的,时空无联系,与运动无关 "绝对,真正和数学的时间是自在的,与任何外在的 绝对,真正和数学的时间是自在的, 绝对 东西无关,它均一地流逝着,又称为持续. 东西无关,它均一地流逝着,又称为持续." "绝对空间的自身,与任何外在的东西无关,永远 绝对空间的自身,与任何外在的东西无关, 绝对空间的自身 保持不变和不动. 保持不变和不动." 相对论时空观:相对的,时空有联系, 相对论时空观:相对的,时空有联系,与运动有关 同时的相对性 运动时钟变慢 运动尺度缩短

§1-3 质点运动描述
一,位矢 用来确定质点在某一时刻位置的矢量叫做质点 位置矢量,简称位矢 位矢. 的位置矢量,简称位矢. 引入单位矢量 引入单位矢量

i , j, k

后位矢为

z

r

P y

r = xi + yj + zk
其大小为 r =

k
2

x +y +z
2 2

i

O

j
x

x y z , cos γ = 方向余弦为 cos α = , cos β = r r r

二,运动学方程和轨道方程 质点在空间中运动时,位矢将随时间变化. 质点在空间中运动时,位矢将随时间变化.

r = r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k
或分量式

x = x ( t ),

y = y ( t ),

z = z (t )

称为质点的运动学方程 称为质点的运动学方程. 运动学方程 运动质点在空间所经过的路径,叫做轨道. 运动质点在空间所经过的路径,叫做轨道. 轨道 后可得到轨道方 从运动学方程中消去时间对数t 后可得到轨道方 程.形式为

F ( x, y , z ) = 0

三,位移与路程 位移是描述质点位置矢量改变的物理量.与质点 位移是描述质点位置矢量改变的物理量 是描述质点位置矢量改变的物理量. 运动状态变化相对应. 运动状态变化相对应. t 时刻: 时刻: P点 ,r(t) 点 t+t 时刻:P1点,r(t+t) 时刻: t到t+t 时间内位矢的增量 到 时间内位矢的增量

r = r (t + t ) r (t ) = xi + y j + zk
位移. 为质点在 t 到 t+t 这一段时间内的位移.其大小为 这一段时间内的位移

r =

x + y + z
2 2

2

路程与位移的区别 路程与位移的区别 路程是质点在Δ 内走过的轨道的长度 轨道的长度Δ 路程是质点在Δt内走过的轨道的长度Δs ,是 标量,而位移是Δ 内位矢的变化量, 标量,而位移是Δt内位矢的变化量,它和位矢均为 矢量. 矢量. 位移的大小是质点实际移动的直线距离, 位移的大小是质点实际移动的直线距离,也与路 不同.运动员在跑道上跑完一圈又回到起点时, 程Δs不同.运动员在跑道上跑完一圈又回到起点时, 走过的路程为400米而位移=0. 路程为400米而位移=0 走过的路程为400米而位移=0. 仅当Δ →0时 无穷小的位移大小才与路程相等. 仅当Δt→0时,无穷小的位移大小才与路程相等.

d r = ds

r1

△S

r

r2

四,速度与速率 设一质点在△ 时间内从右图中P点 设一质点在△t 时间内从右图中 点 运动到Q点,发生位移△r ,定义: 运动到 点 发生位移△ 定义: *均速度: *均速度: *均速度

P

r1
O

r

v
Q

r dr 瞬时速度,简称速度: v = lim 瞬时速度, 速度: 瞬时速度 简称速度 = t →0 t dt
速度方向沿轨道切线方向, 速度方向沿轨道切线方向,其大小称为 沿轨道切线方向 速率: 速率: 速率

r r2 r1 v = = t t

r2

r dr S dS v= v = = lim = lim = dt t →0 t dt t →0 t

dr dx dy dz j+ k = i+ 在三维直角坐标系中 v = dt dt dt dt
另一方面

v = vx i + v y j + vz k

dx dy dz , v y = , vz = 比较上两式有: 比较上两式有: v x = dt dt dt
因而速率: 因而速率: 速率

v = v x +v y +v z
2 2

2

速度矢量反映了质点在任一时刻运动的快慢和方向. 速度矢量反映了质点在任一时刻运动的快慢和方向. 要注意其矢量性 矢量性, 要注意其矢量性,瞬时性和相对性.

五, 加速度 质点运动时,其速度的大小和方向都可能变化, 质点运动时,其速度的大小和方向都可能变化, 为反映速度变化的快慢和方向引入加速度 加速度. 为反映速度变化的快慢和方向引入加速度. v1 设质点在Δ 时间内由图中P 设质点在Δt 时间内由图中P点 Q 运动到Q 运动到Q点,速度改变了 P

v = v2 v1

v

v2

v v 2 v 1 定义*均加速度: a = 定义*均加速度: 定义*均加速度 = t t
瞬时加速度,简称加速度: 瞬时加速度,简称加速度 加速度: 瞬时加速度

v2

v dv d 2r a = lim = = 2 t →0 t dt dt

加速度的方向: 时速度增量的极限方向, 加速度的方向:沿t→0时速度增量的极限方向,在 方向 → 时速度增量的极限方向 指向曲线的凹侧. 曲线运动中,总是指向曲线的凹侧 曲线运动中,总是指向曲线的凹侧. 在直角坐标系中

a = axi + a y j + az k

因而有: 因而有:

dv y d 2 y dv x d 2 x dv z d 2 z ax = = 2 , ay = = 2 , az = = 2 dt dt dt dt dt dt
其大小 注意

a = a +a +a
2 x 2 y

2 z

d v dv ≠ a = a = dt dt

描述质点运动的状态参量的特性 描述质点运动的状态参量的特性 状态参量包括

r ,v, a

应注意它们的

(1)矢量性.注意矢量和标量的区别. )矢量性.注意矢量和标量的区别.

(2)瞬时性.注意瞬时量和过程量的区别. )瞬时性.注意瞬时量和过程量的区别. (3)相对性.对不同参照系有不同的描述. )相对性.对不同参照系有不同的描述.

一个质点在*面上作椭圆运动, 例1. 一个质点在*面上作椭圆运动,椭圆的两个 质点的运动学方程为: 半轴长度分别是 a,b.质点的运动学方程为:

x = a cos ω t , y = b sin ω t
求质点的速度和加速度. 求质点的速度和加速度. 解:

dx vx = = ω a sin ω t , v y = ω b cos ω t dt dv x ax = = ω 2 a cos ω t , a y = ω 2 b sin ω t dt

v = ( ωa sin ω t ) i + (ωb cos ω t ) j a = ( ω 2 a cos ω t ) i + ( ω 2b sin ω t ) j = ω 2 r

例2. 一质点运动学方程

x = t , y = t + 2t
2 4

2

求质点在x= 时的速度,速率和加速度. 求质点在 - 4 时的速度,速率和加速度. 解: v = dx = 2 t , v = dy = 4 t 3 + 4 t x y

dt dt dv y dv x 2 ax = = 2, a y = = 12 t + 4 dt dt
v=
2 x

而x= -4 时,t=2,代入得 ,

v x = 4, v y = 24

2 vx

2 + vy
2 y

= 4 37

a x = 2 , a y = 44 , a = a + a = 1940

§1-4 直线运动
当质点在一直线上运动时,通常将该直线选为 当质点在一直线上运动时,通常将该直线选为 x 质点的运动方程,位移,速度,加速度为: 轴,质点的运动方程,位移,速度,加速度为:

x = x ( t ), x = x ( t + t ) x ( t ) dx dv d x v= , a= = 2 dt dt dt
此时,位移,速度,加速度都只需用标量式表示, 用标量式表示 此时,位移,速度,加速度都只需用标量式表示, 但应注意它们的正 负代表了矢量的方向. 但应注意它们的正,负代表了矢量的方向. 如:v > 0 表示 向等. 向等.
2

v

轴正向, 沿 x 轴正向,v < 0 则沿 x 轴负

一,匀速与匀变速直线运动
这一类型问题是直线运动中较简单, 这一类型问题是直线运动中较简单,也是大家 在中学就已熟*的. 在中学就已熟*的. 匀速直线运动: a = 0, v = 常量, x = x0 + vt 匀速直线运动: 匀速直线运动 常量,

a = 常量, v = v 0 + at , 常量,
匀变速直线运动: 匀变速直线运动: 匀变速直线运动

1 2 x = x 0 + v 0 t + at 2 2 v 2 v0 = 2 a ( x x0 )

注意:以上各式仅适用于匀加速情形. 注意:以上各式仅适用于匀加速情形.

1.如图 几个不同倾角的光滑斜面,有共同的底边, 如图, 例1.如图,几个不同倾角的光滑斜面,有共同的底边, 顶点也在同一垂直面上. 顶点也在同一垂直面上.若使一物体从斜面上端由静 止开始滑到下端的时间最短, 止开始滑到下端的时间最短,则斜面的倾角应选

( A) 30o.

( B) 45o.

(C ) 60o.

( D) 75o.
75o 60o 45o

解 : 由 s = 1 at 2 ,

a = g sin α

2

s=L

cos α
s

2s 2L 4L 2 ∴t = = = a cosα g sin α g sin 2α
时所用时间最短. 故 α=45o 时所用时间最短.

30o

α
L

例2. 在同一铅直线上相隔 h 的两点以同样的初速率 上抛两石子, 秒被抛出. v0 上抛两石子,但在高处的石子早 t0 秒被抛出.求 此二石子何时何处相遇? 此二石子何时何处相遇? 以第二石子处为坐标原点, 轴铅直向上为正, 解:以第二石子处为坐标原点,y 轴铅直向上为正, 并以抛出第二个石子时为 t = 0,则二石子的运动学 , 方程分别为: 方程分别为: 1 y1 = h + v 0 ( t + t 0 ) g ( t + t 0 ) 2 2 1 y 2 = v 0 t gt 2 2 相遇时, 得出: 相遇时,y1= y2 得出:
2 2 v0 h 2 gt 0 h v0 t 0 1 t= + + , y = h+ 2 gt 0 g 2 2 g gt 0 4

二,直线运动的第一类问题: 直线运动的第一类问题: 已知 x( t ) ,求 v ,a
求解此类问题的基本思路是: 求解此类问题的基本思路是:先写出运动学方程 x=x( t ),再用求导得出速度和加速度. ,再用求导得出速度和加速度. 注意:有时运动学方程是隐含在题目中 隐含在题目中的 注意:有时运动学方程是隐含在题目中的,要自己去 找出来. 找出来.

例3. 如右图所示,一人 如右图所示, 在高为 h 的岸上以恒定的 收绳拉小船靠岸, 速率 v0 收绳拉小船靠岸, 求小船运动至图示位置时 的速度与加速度. 的速度与加速度.

v0 l h O θ

x

x

解:取 x 轴如图,小船的坐标:x(t ) = 轴如图,小船的坐标:

l (t ) h
2

2

此即为小船的运动学方程, 求导可得: 此即为小船的运动学方程,将上式对 t 求导可得:

v0 dx 1 2ll ′ l v= = = v0 = cos θ dt 2 l 2 h 2 x dv l ′x lx′ h2 2 a= = v0 = 3 v0 2 dt x x

直线运动的第二类问题: 三,直线运动的第二类问题: 已知 a( t ) ,求 v( t ) ,x( t )
解此类问题的基本思路是求积分: 解此类问题的基本思路是求积分: 求积分

v(t ) =

∫ a ( t ) dt ,

x(t ) =

∫ v ( t ) dt
dx = v(t )dt

或解微分方程

dv = a(t )dt ,

当 a = 常数时,积分结果就是前述匀变速直线运动 当 常数时, 的基本公式. 的基本公式. 当a ≠ 常数时,一定要自己积分得出结果. 当 常数时,一定要自己积分得出结果.

一质点作直线运动, 例4. 一质点作直线运动,其加速度 a = 4t - 5 ,且 初始条件为 x0 =0 , v0 = 0 ,求质点的速度和运动学 方程. 方程. 解:积分有 v = 再次积分有: 再次积分有:

adt = ∫ ( 4t 5)dt = 2t 2 5t + C1 ∫

其中积分常数C1 可由初始条件 v0 = 0 得:C1 = 0 其中积分常数

2 3 2 x = ∫ vdt = ∫ ( 2t 5t ) dt = t 2 .5t + C 2 3
2

积分常数C2 可由初始条件 x0 = 0 得:C2 = 0,于是 积分常数 ,

v = 2t 5t ,
2

2 3 x = t 2.5t 2 3

跳水运动员沿铅直方向入水, 例5. 跳水运动员沿铅直方向入水,接触水面时速率 入水后所受重力与浮力相抵消, 为v0 ,入水后所受重力与浮力相抵消,仅受水阻力 而减速. 为常数, 而减速.其加速度 a = - kv2,k 为常数,求运动员入 随时间的变化, 水后的速度 v 和入水深度 y 随时间的变化,及速度 随深度的变化 v( y ). . 轴铅直向下为正原点位于水面, 解:取 y 轴铅直向下为正原点位于水面,并取运动 员接触水面时为计时零点. 员接触水面时为计时零点.有:

dv = adt = kv dt
2

两边一起定积分得

dv = kdt 2 v



v

v0

t dv = k ∫ dt 2 0 v

v0 v(t ) = kv 0 t + 1

再次积分得

y (t ) =



t

0

vdt =



t

0

v 0 dt 1 = ln( kv 0 t + 1) kv 0 t + 1 k

要求 v( y ),可由 ,

dv dv dy dv a= = =v dt dy dt dy

有 积分得
v

dv kv = v dy
2



dv = kdy v

y dv v ky ∫v0 v = k ∫0 dy ln v0 = ky, v = v0e

§1-5 曲线运动
一,抛射体运动 1,轨道方程 , 如图, 如图,将一物体从坐 标原点处以初速度 v0 倾角 抛出, θ 抛出,物体将在铅直* 面内运动, 面内运动,加速度 ax = 0, ay = -g,可将物体的运动 , 分解为: 分解为:
y

v0
O θ x

x 方向上匀速直线运动,y 方向上竖直上抛运动. 方向上匀速直线运动, 方向上竖直上抛运动.

其速度的两个分量为: 其速度的两个分量为: 其速度的两个分量为

y

vx = v0 cosθ, vy = v0 sinθ gt
O

v0
θ x

运动学方程: = ( v 0 cos θ )t , y = ( v 0 sin θ )t 运动学方程: 运动学方程 x 消去时间 t 得到 轨道方程: 轨道方程: 轨道方程

1 2 gt 2

1 gx y = x tan θ 2 2 2 v0 cos θ

2

2,射高与射程 , 抛射体运动到最高点时, 抛射体运动到最高点时, vy = 0,可由速度公式得 , 出上升时间 t1

y

v0
O θ H x R

v 0 sin θ t1 = g

代入运动学方程中得出射高 代入运动学方程中得出射高 H 和水*射程 R 为:
2 2 v0 sin 2 θ v0 sin 2θ , R = (v0 cos θ )2t1 = H= 2g g

当θ = 45° 时,水*射程最大

Rmax

2 v0 = g

例1. 一人扔石头的最大出手速率为 v0=25 m/s,他 , 能否击中与他的手水*距离 L=50 m,高 H=13 m , 的目标?在此距离上他能击中目标的最大高度? 的目标?在此距离上他能击中目标的最大高度? 角抛出石头, 解:设他以 θ 角抛出石头,并将 v0=25, x=50 代入轨 道方程有: 道方程有:

1 gx 2 y = xtgθ 2 2 v0 cos 2 θ 19.6 = 50tgθ = 50tgθ 19.6(1 + tg 2 θ) cos 2 θ
而变,为求极值( 的最大值) 高度 y 随θ 而变,为求极值(y 的最大值)

令:

dy = 50 19 .6 × 2tg θ = 0 dtg θ

得:tg θ = 1.2755 时,最大高度 ymax=12.29 m 目标. 因而无法击中H=13 因而无法击中H=13 m 的目标.

3,抛射体运动的另一种分解 , 可写出抛射体的位矢
y

v0t

1 2 r = v 0 x t i + ( v 0 y t gt ) j 2 1 2 = v0t + gt 2

1 2 gt 2
v0
θ

r
x

O

因而抛射体运动又可分解为: 因而抛射体运动又可分解为:沿初速度方向的匀速 直线运动+自由落体运动. 直线运动+自由落体运动. 演示: 演示 百发百中

例2. 一质点自由下落 h 的 高度与倾角θ 高度与倾角θ=30° 的斜面发 ° 生完全弹性碰撞后作抛射体 运动,并再次与斜面在B 点 运动,并再次与斜面在 处相碰.如图, 处相碰.如图,求A, B 两点 间的距离. 间的距离.

h A

v0
α

v0t

C

1 2 gt 2
θ B

解:由题可知质点斜抛的初速度大小 v0 =

2 gh

示分解,在本题中⊿ 恰为一等边三角形, 示分解,在本题中⊿ABC 恰为一等边三角形,有:

v0 与水*方向的夹角 α= 30° .将斜抛运动作图 °
2 0

2v0 2v 1 2 , AB = = 4h 求出: AB = v0t = gt 求出: t = g g 2

4,抛射体运动的进一步研究 ,
研究抛射体运动可 得出如下结论: 得出如下结论: 质点分布圆 质点分布圆 从抛射体运动学方 程中消去 θ 得:
t1 t2 x t3 y

1 2 2 x + ( y + gt ) = (v0t )2 2
2

即以相同的初速度v 角抛出的质点, 即以相同的初速度 0 不同的 θ 角抛出的质点,在某 将处于半径为v 一时刻 t ,将处于半径为 0t ,圆心坐标为 ( 0, 1 gt 2 ) 2 的同一圆周上. 的同一圆周上.

安全抛物线 安全抛物线 以相同的初速度v 以相同的初速度 0 不同的 θ 角抛出的各抛物线的包 络线也是一抛物线,称为安全抛物线 安全抛物线. 络线也是一抛物线,称为安全抛物线.

v gx y= 2 2 g 2v0
y

2 0

2

x

顶点椭圆 顶点椭圆 以相同的初速度v 以相同的初速度 0 不同的 θ 角抛出的各抛物线顶点 处于中心在 ( 0, b ),半长轴 a 半短轴 b = a/2的椭圆 , 的椭圆 上.

x ( y b) v v , b= + = 1, a = 2 2 a b 2g 4g
2 2 2 0 2 0

y

x

质点分布直线 质点分布直线 若各质点以相同的倾角不同的初速度抛出, 若各质点以相同的倾角不同的初速度抛出,则在此 各质点将处于同一直线上. 后任一时刻 t ,各质点将处于同一直线上.

1 2 y = xtg θ gt 2
y t1 t2 t3 t4 t5

x

顶点直线 顶点直线 若各质点以相同的倾角不同的初速度抛出,则各条 若各质点以相同的倾角不同的初速度抛出, 抛物线的顶点将处于同一直线上. 抛物线的顶点将处于同一直线上.

1 y = xtg θ 2
y

x

5,受空气阻力作用时的抛射体运动 ,
若质量为 m 的抛射体在运动过程中还受到空气阻力

f = kv

的作用,则其加速度的分量为: 的作用,则其加速度的分量为:

kv y dv y kv x dv x ax = , a y = ( g + )= = m dt m dt
解微分方程组可求出抛射体的速度: 解微分方程组可求出抛射体的速度: 抛射体的速度
k t m k t m

v x = v 0 cos θ e

mg ) e v y = ( v 0 sin θ + k

mg k

运动学方程

m x= ( v 0 cos θ )(1 e ) k k t m mg mg m y= ( v 0 sin θ + ) (1 e ) t k k k
轨道方程



k t m

mg m2 g kx y = (tgθ + ) x + 2 ln(1 ) kv0 cos θ k mv0 cos θ
演示: 演示:有阻力的抛体运动

三, 圆周运动
1,匀速率圆周运动 ,
此时速度大小不变仅方向 此时速度大小不变仅方向 变化. 变化.当 t→0 时,v 方 → 向因而加速度方向指向圆 称为向心加速度 心,称为向心加速度 an 其大小

v2
B R

△s

v1
A

△θ

v

v1
△θ

O

an

v2

v v AB v s v a n = lim = lim = lim = t → 0 t R t → 0 t R t → 0 t R

2

2,变速率圆周运动 ,
此时速度大小方向都在变化. 此时速度大小方向都在变化.
△s

v1

v a = lim t→ 0 t v1 v2 = lim + lim = an + aτ t→ 0 t t→ 0 t
第一项仍是由于速度方向变化而 引起的向心加速度 向心加速度, 引起的向心加速度,第二顶是由 于速度大小变化引起的, 于速度大小变化引起的,方向沿 轨道切线的切向加速度 切向加速度. 轨道切线的切向加速度.

v2

B R O


A

△θ

an

v
v2
v2
2 τ

v1

v1
C A

v dv an = , aτ = , a= R dt

2

a +a
2 n

1 2 例1 一质点沿半径为 R 的圆周按 s = v0 t a 0 t 2

ds 解:(1) 质点运动速率 v = = v0 a0t dt 2 2 (v0 a0t ) dv v 加速度分量 aτ = = a0 , a n = = dt R R

规律运动. 时刻质点的加速度大小; 规律运动.求:(1) t 时刻质点的加速度大小;(2) t 为 何值时 a=a0 ?

∴ a=

1 a +a = R
2 n 2 τ

2 R 2 a 0 + ( v0 a 0t ) 4

(2) 当a=a0 时,求出

v0 t= a0

例3,质点圆周运动半径为 R ,其加速度与速度之间 , 恒定, . 的夹角 θ 恒定,初速为 v0 ,求质点速度 v( t ). 解:由题有

v
θ

v2 an R dv = dt tgθ = = v 2 Rtgθ aτ dv dt

a
R O



an

定积分



v

v0

dv 1 = 2 v Rtg θ



t

0

dt



v 0 Rtg θ v= Rtg θ v 0 t

3,圆周运动的角量描述 ,
质点作圆周运动时, 质点作圆周运动时,给出 角位置θ ,质点的位置就确定 时间内, 了.设在 △t 时间内,质点有 角位移 △θ ,则质点运动的 角速度 角速度

y
θ θ

v
P R x

θ dθ dθ ω = lim = t → 0 t dt

质点作变速圆周运动时ω又会随时间变化,定义: 质点作变速圆周运动时ω又会随时间变化,定义: 角加速度 角加速度

ω dω d θ β = lim = = 2 t → 0 t dt dt
2

角量与线量间的关系: 角量与线量间的关系: 角量与线量间的关系

v dv 2 v = Rω, an = = Rω , aτ = = Rβ R dt
匀速率圆周运动: 匀速率圆周运动: 匀速率圆周运动

2

ω = 常数, θ = θ 0 + ω t 常数,
常数, β = 常数, ω = ω 0 + β t

匀变速圆周运动: 匀变速圆周运动: 匀变速圆周运动

1 θ = θ 0 + ω 0t + β t 2 2 2 ω 2 ω 0 = 2β (θ θ 0 )

的圆周上运动, 例4,一质点在半径为 R 的圆周上运动,角位置随 , 时间变化: 求质点的切向, 制).求质点的切向 时间变化:θ=2+4t3 (SI制).求质点的切向,法 向加速度和总加速度. 向加速度和总加速度. 解:

dθ dω 2 ω= = 12t , β = = 24t dt dt 2 2 an = Rω = 12Rt , aτ = Rβ = 24Rt a = a + a = 12Rt t + 4
2 n 2 τ 2

四,一般曲线运动
自然坐标系 自然坐标系 为原点, 在曲线上选一点 O 为原点, 用质点到原点的弧长 S 表示 质点位置. 质点位置. 质点运动学方程:S = S ( t ) 质点运动学方程: 沿轨道切线方向和法线方向作单位矢量: 沿轨道切线方向和法线方向作单位矢量:
S<0 < O S>0 >

n
P

τ

v

τ, n

质点运动速度: 质点运动速度: 质点运动速度

ds v = vτ = τ dt

引入曲率圆( 引入曲率圆(轨道上质点所 曲率圆 在处的一小段弧线, 在处的一小段弧线,与曲率 圆相切) 圆相切)后,质点的加速度 可套用圆周运动的结论, 可套用圆周运动的结论,即 有:

O'

ρ
P

a
v


an

a = an + aτ

v2 dv d 2 s 2 2 an = , aτ = = 2 , a = an + aτ dt dt ρ
其中 ρ 为曲率圆半径,在轨道不同地方其值不同. 为曲率圆半径,在轨道不同地方其值不同.

例1,在高处将小球以水*初速度 0 抛出,求小球 ,在高处将小球以水*初速度v 的位置,轨道方程,速度, 在任一时刻 t 的位置,轨道方程,速度,切向加速 度和法向加速度. 度和法向加速度. 取坐标系如图所示, 解:取坐标系如图所示,则有
O

v0

x

1 2 x g x = v0t , y = gt , y = 2 2 2v0

2

an
y



vx = v0 , vy = gt, v = v + g t
2 0 2

2 2

g

v0 g dv gt 2 2 a = g, aτ = = , an = g aτ = 2 2 2 2 2 2 dt v0 + g t v0 + g t

例2,迫击炮弹以 °角发射,初速率 0=90m/s.在 ,迫击炮弹以45°角发射,初速率v . 与发射点同一水*面上落地, 与发射点同一水*面上落地,求炮弹在最高点和落 地点处的轨道曲率半径. 地点处的轨道曲率半径. 在最高点, 解:(1) 在最高点,v = vx=v0 cos θ, a = an = g

v cos θ v ∴ρ = = = 413 . 3 m an g
2 2 0 2

(2) 在落地点,速度与水*面的夹角也是 °,有 在落地点,速度与水*面的夹角也是45

v v = v0 , an = g cos 45°, ρ = = 1169m an

2

§1-6 相对运动 -
研究的问题: 在两个惯性系中考察同一物体的运动 研究的问题: 研究的问题 静止参照系S 相对观察者固定不动) 静止参照系S(相对观察者固定不动) 运动参照系S 相对S 轴作匀速直线运动) 运动参照系S′(相对S系沿x 轴作匀速直线运动) 一,伽利略变换
y′ ′ y

u

r = r ′ + r0 = r ′ + u t
或逆变换: 或逆变换:

P

r
O z

r′
O′ ′ x′ x

r ′ = r r0 = r u t

r0
z′ ′

分量式: 分量式:

y′ ′ y

或:

x = x ′ + ut , t = t ′ y = y ′, z = z ′
O z

u

P

r
r0
z′ ′ O′ ′

r′
x′ x

x ′ = x ut , t ′ = t y′ = y, z′ = z

二,伽利略变换中蕴含的时空观 伽利略变换中的时空观是:绝对空间和绝对时间观 伽利略变换中的时空观是:绝对空间和绝对时间观. 即:空间长度和时间的测量结果都与参考系的相对运 动无关. 动无关.

′ ′ ′ ′ x2 x1 = x2 x1 , t 2 t1 = t 2 t1

三,伽利略速度变换 将式

r = r ′ + ut

dr ′ ∵ dt = dt ′ ∴ = v′ dt
用分量式表示为: 用分量式表示为:

dr dr ′ = +u 两边一起求导有: 两边一起求导有: dt dt
因而

v = v′ + u

通常说:绝对速度=相对速度+牵连速度. 通常说:绝对速度=相对速度+牵连速度.

vx = v′ + u, vy = v′y , vz = v′ x z

四,伽利略加速度变换为不变量 为常矢量, 因 u 为常矢量,dt=dt,将速度变换式再对 t 求导 得:

a = a′

在惯性系中绝对加速度 绝对加速度= 在惯性系中绝对加速度=相对加速度

一人骑车以18km/h的速率自东向西行进时, 18km/h的速率自东向西行进时 例1 一人骑车以18km/h的速率自东向西行进时,看见 雨点垂直下落.当他的速率增至36km/h时,看见雨点与 雨点垂直下落.当他的速率增至36km/h时 36km/h 前进的方向成120 角下落.求雨点对地面的速度. 120° 前进的方向成120°角下落.求雨点对地面的速度. 选取S系 地面, 物体-雨点, 解:选取 系-地面,S系-人,物体-雨点,则

v = V雨对地 , v ′ = V雨对人 , u = V人对地
依题意有: 依题意有:

′ v = v1′ + u1 = v2 + u2
从右图中的几何关系可求出: 从右图中的几何关系可求出:

u2
120° °

u1
v1′
θ

v = v′ = 36km / h, θ = 30° 2

′ v2

v

飞机A 例2 飞机A以 vA =1000km/h 的速率相对于地面向南 飞行,同时另一架飞机B 飞行,同时另一架飞机B以 vB =800km/h 的速率相对 于地面向东偏南30 方向飞行. 机相对于B 于地面向东偏南300方向飞行.求A 机相对于B 机的 速度大小. 速度大小. 两飞机的速度关系如图. 解 两飞机的速度关系如图.设A 机相对于B 机相对于B机的速度为 v AB ,则
α 300 E

vB vA
S

v AB = v A vB
v AB = v +v 2v AvB cos α
2 A 2 B

v AB

= 1000 + 800 2 ×1000× 800 × cos 60 = 917km/h
2 2 0

行驶, 例3,甲舰自北向南以速率 v1 行驶,乙舰从南向北以 , 行驶,当两舰的联线与航线相垂直时, 速率 v2 行驶,当两舰的联线与航线相垂直时,乙舰 的炮弹, 向甲舰发射速率为 v0 的炮弹,求发射方向与航线所 成的夹角. 成的夹角. 解:取S-乙舰,S′-甲舰,物-炮弹,则 -乙舰, ′ 甲舰, 炮弹,

v = v弹对乙 v ′ = v弹对甲 u = v甲对乙
由题知 u = v1+v2 , 方向朝南, 方向朝南,

v′
θ

v′

垂直于航线, 垂直于航线,v = v0 ,得:

u v1 + v2 cosθ = = v v0

u

v

河水自西向东流动,速度为10 km/h,一轮船在 例4,河水自西向东流动,速度为10 km/h,一轮船在 水中航行,船相对于河水的航向为北偏西30 水中航行,船相对于河水的航向为北偏西30o,航速为 20km/h 此时风向为正西,风速为10km/h( km/h. 10km/h 20km/h.此时风向为正西,风速为10km/h(相对地 ).试求在船上测出的风速 试求在船上测出的风速. 面).试求在船上测出的风速. 解:先求船速,取:S-地,S-水,物-船,则 先求船速, -

v = v船对地 , v ′ = v船对水 , u = v水 v = v′ + u
正东, 北偏西30 由题知 u=10 正东,v=20 北偏西 o 求出

v

v′
30°

u

v船对地 = 10 3km / h 方向正北

再求风相对船的速度, 再求风相对船的速度,取S-地,S-船,物-风,则 -

v = v风对地 , v ′ = v风对船 , u = v 船对地 v′ = v u
由前知 u = 10 3 正北,v =10 正西 正北,

θ

u

v′ v

求出θ = 30°,v′ = 20km / h ° 即在船上测出风速为 20 km/h,方向南偏西 o. ,方向南偏西30


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